Giải bài 6 trang 14

Đề bài

Tìm giá trị của tham số m để:

a) $x=3$ là một nghiệm của bất phương trình $\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$

b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$

c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$

d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$

e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$

Lời giải chi tiết

a) $x=3$ là nghiệm của bất phương trình $\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$ khi và chỉ khi:

$\left(m^2-1\right){.3}^2+2m.3-15\le 0\iff 9m^2+6m-24\le 0$

Tam thức $9m^2+6m-24$ có $a=9>0$ và hai nghiệm là $m=-2$ và $m=\frac{4}{3}$

Do đó $9m^2+6m-24\le 0\iff -2\le m\le \frac{4}{3}$

Vậy $m\in \left[-2;\frac{4}{3}\right]$

b) $x=-1$ là nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$ khi và chỉ khi:

$m.{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+1>0\iff m+3>0\iff m>-3$

Vậy khi $m\in \left(-3;+\infty \right)$

c) $x=\frac{5}{2}$ là nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$ khi và chỉ khi:

$4.{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+2m.\left(\frac{5}{2}\right)-5m\le 0\iff 25\le 0$ (vô lí)

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu

d) $x=-2$ là nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$ khi và chỉ khi:

$\left(2m-3\right).{\left(-2\right)}^2-\left(m^2+1\right).\left(-2\right)\ge 0\iff 2m^2+8m-10\ge 0\iff [\begin{array}{c}m\le -5\\ m\ge 1\end{array}$

Vậy $m\in \left(-\infty ;-5\right]\cup \left[1;+\infty \right)$

e) $x=m+1$ là nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$ khi và chỉ khi:

$2.{\left(m+1\right)}^2+2m.\left(m+1\right)-m^2-2<0\iff 3m^2+6m<0\iff -2<x<0$

Vậy $m\in \left(-2;0\right)$