Giải bài 6 trang 19

Đề bài

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta đi chứng minh tổng khoảng cách $A M + N B$ ngắn nhất khi và chỉ khi $A^{'} N + N B^{'} = A^{'} B^{'} .$ Với A’, B’ là ảnh của A, B qua $Đ_{d}$ (d là đường trung trực của đoạn MN)

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua $Đ_{d}$

Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua $Đ_{d}$

Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua $Đ_{d}$

Do đó $A^{'} N = A M .$

Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua

Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.

Mà $N \in b$ (giả thiết).

Do đó $N B^{'} = N B .$

Ta có $A M + N B = A^{'} N + N B^{'} .$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: $A^{'} N + N B^{'} \geq A^{'} B^{'} .$

Do đó tổng khoảng cách $A M + N B$ ngắn nhất khi và chỉ khi $A^{'} N + N B^{'} = A^{'} B^{'} .$

Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ_d(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, $A^{'} = Đ_{d} (A), B^{'} = Đ_{b} (B) .$