Giải bài 6 trang 19

Đề bài

Anh Châu tham gia quảng cáo cho một loại sản phẩm. Xác suất 1 lần quảng cáo thành công (tức là bán được sản phẩm sau lần quảng cáo đó) của anh Châu là $\frac{1}{3}.$

Anh Châu thực hiện 12 lần quảng cáo liên tiếp một cách độc lập. Gọi $X$ là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.

a) Tính xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công.

b) Tính số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $X$ là số quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo. Khi đó $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc tuân theo phân phối nhị thức với tham số $n=12;p=\frac{1}{3}.$

a) $P(X=3)=C_{12}^3.{\left(\frac{1}{3}\right)}^3.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-3}=\frac{{220.2}^9}{3^{12}}$

$P(X=4)=C_{12}^4.{\left(\frac{1}{3}\right)}^4.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-4}=\frac{{495.2}^8}{3^{12}}$

$P(X=5)=C_{12}^5.{\left(\frac{1}{3}\right)}^5.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-5}=\frac{{792.2}^7}{3^{12}}$

$P(3\le X\le 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{{1331.2}^8}{3^{12}}\approx 0,64115$

Vậy xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công là 0,64115.

b) Gọi $k$ là số lần quảng cáo thành công

$P(X=k)=C_{12}^k.{\left(\frac{1}{3}\right)}^k.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-k}=\frac{C_{12}^k{.2}^{12-k}}{3^{12}}$

Ta sẽ cho $k$ chạy từ 0 đến 12 ta có:

$P(X=0)=C_{12}^0.{\left(\frac{1}{3}\right)}^0.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-0}=0,0077$

$P(X=1)=C_{12}^1.{\left(\frac{1}{3}\right)}^1.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-1}\approx 0,046$

$P(X=2)=C_{12}^2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-2}\approx 0,127$$P(X=3)=C_{12}^3.{\left(\frac{1}{3}\right)}^3.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-3}\approx 0,212$

$P(X=4)=C_{12}^4.{\left(\frac{1}{3}\right)}^4.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-4}\approx 0,238$

$P(X=5)=C_{12}^5.{\left(\frac{1}{3}\right)}^5.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-5}\approx 0,191$

$P(X=6)=C_{12}^6.{\left(\frac{1}{3}\right)}^6.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-6}\approx 0,111$

$P(X=7)=C_{12}^7.{\left(\frac{1}{3}\right)}^7.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-7}\approx 0,048$

$P(X=8)=C_{12}^8.{\left(\frac{1}{3}\right)}^8.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-8}\approx 0,015$

$P(X=9)=C_{12}^9.{\left(\frac{1}{3}\right)}^9.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-9}\approx 0,0033$

$P(X=10)=C_{12}^{10}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-10}\approx 0,0005$

$P(X=11)=C_{12}^{11}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{11}.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-11}\approx 0,000045$

$P(X=12)=C_{12}^{12}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}.{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{12-12}\approx 0,000002$

Vậy 4 lần quảng cáo thành công sẽ có xác suất lớn nhất là 0,238.