Giải bài 6 trang 23, 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}$ và $x_{2}$ thì đa thức $a x^{2} + b x + c$ được phân tích được thành nhân tử như sau: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} + 11 x + 18$ ;

b) $3 x^{2} + 5 x - 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh:

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

+ Biến đổi $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$

+ Thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ vào đa thức $a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$ ta được điều phải chứng minh.

a, b) + Tìm nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$

+ Phân tích đa thức dưới dạng: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Lời giải chi tiết

Với $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ , theo định lí Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ . Do đó:

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = a x^{2} - a . \frac{- b}{a} . x + a . \frac{c}{a} = a x^{2} + b x + c .$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình $x^{2} + 11 x + 18 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = - 2; x_{2} = - 9$

nên $x^{2} + 11 x + 18 = (x + 2) (x + 9)$

b) Do phương trình $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = \frac{1}{3}; x_{2} = - 2$ nên

$3 x^{2} + 5 x - 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x + 2) = (x + 2) (3 x - 1) .$