Giải bài 6 trang 23 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải chi tiết

• Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình, y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc một mình. Điều kiện: $x,y>16$.

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Cả hai người cùng làm thì mỗi giờ được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc) và hoàn thành toàn bộ công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1$. (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ được $\frac{3}{x}$ (công việc); người thứ hai làm trong 6 giờ được $\frac{6}{y}$ (công việc) và khi đó cả hai chỉ hoàn thành được 25% ($=\frac{1}{4}$ công việc) nên ta có phương trình $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}$. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) $\{\begin{array}{c}16\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{array}$.

• Đặt $u=\frac{1}{x}$ và $v=\frac{1}{y}$, ta đưa hệ (I) về dạng (II) $\{\begin{array}{c}16\left(u+v\right)=1\left(3\right)\\ 3u+6v=\frac{1}{4}\left(4\right)\end{array}$.

Giải hệ (II): Từ (3) ta có $u+v=\frac{1}{16}$. Thay thế giá trị này vào (4), ta được: $3\left(u+v\right)+3v=\frac{1}{4}$ hay $\frac{3}{16}+3v=\frac{1}{4}$, suy ra $v=\frac{1}{48}$. Do đó, $u=\frac{1}{24}$.

Từ đó, ta có: $u=\frac{1}{x}=\frac{1}{24}$ suy ra $x=24$; $v=\frac{1}{y}=\frac{1}{48}$ suy ra $y=48$.

• Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành trong 48 giờ.