Giải bài 6 trang 32

Đề bài

Trong mặt phẳng, cho đa giác$A_1{A}_2{A}_3...A_n$ có n cạnh $(n\ge 3)$. Gọi $S_n$ là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính $S_3,S_4,S_5$ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính $S_n$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{c}{S}_3={180}^{\circ }\\ S_4={180}^{\circ }+{180}^{\circ }={2.180}^{\circ }\\ S_5={2.180}^{\circ }+{180}^{\circ }={3.180}^{\circ }\end{array}$

b) Dự đoán $S_n=(n-2){.180}^{\circ }$ với mọi $n\ge 3$.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp

Với $n=3$ ta có $S_3={180}^{\circ }$

Vậy công thức đúng với $n=3$

Giả sử công thức đúng với $n=k$ nghĩa là có $S_k=(k-2){.180}^{\circ }$

Ta chứng minh công thức đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $S_{k+1}=(k-1){.180}^{\circ }$

Thật vậy, ta có

Xét đa giác k+1 cạnh: $A_1{A}_2{A}_3...A_k{A}_{k+1}$. Kẻ đường chéo $A_1{A}_k$, chia đa giác này thành đa giác $A_1{A}_2{A}_3...A_k$ k cạnh và tam giác $A_1{A}_k{A}_{k+1}$. Khi đó tổng các góc trong của đa giác k+1 cạnh $A_1{A}_2{A}_3...A_k{A}_{k+1}$ bằng tổng các góc trong cả đa giác k cạnh $A_1{A}_2{A}_3...A_k$ và tam giác $A_1{A}_k{A}_{k+1}$

Do đó: $S_{k+1}=S_k+S_3=(k-2){.180}^{\circ }+{180}^{\circ }=(k-1){.180}^{\circ }$

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$.