Giải bài 6 trang 32

Ta đã biết đồ thị hàm số y=2x−1x+1y=2x−1x+1y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}} có tiệm cận đứng là đường thẳng x=−1x=−1x = - 1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2y=2y = 2. a) Tìm toạ độ giao điểm III của đường tiệm cận. b) Với ttt tuỳ ý (t≠0)(t≠0)\left( {t \ne 0} \right), gọi MMM và M′M′M' lần lượt

Đề bài

Ta đã biết đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của đường tiệm cận.

b) Với $t$ tuỳ ý $(t \neq 0)$ , gọi $M$ và $M^{'}$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là $x_{M} = x_{I} - t$ và $x_{M^{'}} = x_{I} + t$ . Tìm các tung độ $y (x_{M})$ và $y (x_{M^{'}})$ .

Từ đó, chứng minh rằng hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để chứng minh rằng hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ , ta chứng minh $I$ là trung điểm của $M M^{'}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ nên giao điểm của hai đường tiệm cận là $I (- 1; 2)$ .

b) Ta có: $x_{M} = x_{I} - t = - 1 - t \Rightarrow y_{M} = \frac{2 x_{M} - 1}{x_{M} + 1} = \frac{2 (- 1 - t) - 1}{(- 1 - t) + 1} = \frac{2 t + 3}{t}$

$x_{M^{'}} = x_{I} + t = - 1 + t \Rightarrow y_{M^{'}} = \frac{2 x_{M^{'}} - 1}{x_{M^{'}} + 1} = \frac{2 (- 1 + t) - 1}{(- 1 + t) + 1} = \frac{2 t - 3}{t}$

Vì :

$\begin{array}{l} x_{M} + x_{M^{'}} = (x_{I} - t) + (x_{I} + t) = 2 x_{I}; \\ y_{M} + y_{M^{'}} = \frac{2 t + 3}{t} + \frac{2 t - 3}{t} = \frac{(2 t + 3) + (2 t - 3)}{t} = 4 = 2 y_{I} \end{array}$

nên $I$ là trung điểm của $M M^{'}$ .

Vậy hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ .