Giải bài 6 trang 36

Đề bài

Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng:

- Chi phí cho các công việc hành chính chung của nhà máy là 90 đô la Mỹ (USD)/1 ngày.

- Chi phí sản xuất là 0,09 USD/1 sản phẩm.

-  Các loại chi phí khác trong mỗi một ngày là $\frac{x^2}{10000}$ (USD), trong đó $x$ là số sản phẩm nhà máy sản xuất được trong ngày hôm đó.

a) Tính tổng chi phí $U\left(x\right)$ của mỗi một sản phẩm.

b) Tìm $x$ sao cho $U\left(x\right)$ nhận giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Chi phí cho các công việc hành chính chung trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là $\frac{90}{x}$ (USD).

Các loại chi phí khác trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là $\frac{x}{10000}$ (USD).

Tổng chi phí cho mỗi sản phẩm là $U\left(x\right)=\frac{90}{x}+\frac{x}{10000}$ (USD).

b) Xét hàm số $U\left(x\right)=\frac{90}{x}+\frac{x}{10000}$ trên $[1;+\infty ).$

Ta có $U^{\prime }\left(x\right)=-\frac{90}{x^2}+\frac{1}{10000}$.

Do đó $U^{\prime }\left(x\right)=0\iff -\frac{90}{x^2}+\frac{1}{10000}=0\iff x^2=900000\iff x\approx 948,7$ (do $x>0$).

Bảng biến thiên hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên hàm số ta có $\underset{[1;+\infty )}{min}U\left(x\right)\approx 0,28$ tại $x\approx 948,7.$

Do $x$ là số tự nhiên nên để chi phí nhỏ nhất khi $x=948$ hoặc $x=949.$

Ta có $U\left(948\right)\approx 0,2797367089$ và $U\left(949\right)\approx 0,2797366702$ nên $U\left(948\right)>U\left(949\right)$.

Vậy để $U\left(x\right)$ nhận giá trị nhỏ nhất thì $x=949.$