Giải bài 6 trang 37

Đề bài

Xét khai triển ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}$

a) Xác định hệ số của $x^{10}$

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số $a_k$ của $x^k$ với $0\le k\le 21$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}=C_{21}^0{\left(\frac{x}{2}\right)}^{12}+C_{21}^1{\left(\frac{x}{2}\right)}^{20}{\left(\frac{1}{5}\right)}^1+...+C_{21}^k{\left(\frac{x}{2}\right)}^{21-k}{\left(\frac{1}{5}\right)}^k+...+C_{21}^{21}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21}$

Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với $21-k=10\Rightarrow k=11$. Do đó hệ số của $x^{10}$  là

$C_{21}^{11}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}$

b) Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}$ là $C_{21}^{21-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}$

Như vậy, hệ số $a_k$ của $x^k$ với $0\le k\le 21$ là $C_{21}^{21-k}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}$