Giải bài 6 trang 40

Đề bài

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển của biểu thức sau:

a) $(1 - 3 x)^{8}$

b) ${(1 + \frac{x}{2})}^{7}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k}$

Do đó hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(1 - 3 x)^{8} = C_{8}^{0} + C_{9}^{1} (- 3 x) + . . . + C_{8}^{k} {(- 3 x)}^{k} + . . . + C_{8}^{8} {(- 3 x)}^{8} = \sum_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} {.1}^{k} . {(- 3 x)}^{8 - k} = \sum_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} {.1}^{k} . {(- 3)}^{8 - k} . x^{8 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $8 - k = 3$ hay $k = 5$ . Do đó hệ số của $x^{3}$ là

$C_{8}^{5} (- 3)^{3} = - 1512$ .

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(3 x + 2)^{9} = C_{9}^{0} {(3 x)}^{9} + C_{9}^{1} {(3 x)}^{8} 2 + . . . + C_{9}^{k} {(3 x)}^{9 - k} 2^{k} + . . . + C_{9}^{8} (3 x) 2^{8} + C_{9}^{9} 2^{9}$ $= \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . {(3 x)}^{k} {.2}^{9 - k} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} {.3}^{k} {.2}^{9 - k} . x^{k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $9 - k = 3$ hay $k = 6$ . Do đó hệ số của $x^{3}$ là

$C_{9}^{6} 3^{6} 2^{3} = 489888$

$= C_{8}^{k} {.1}^{k} . {(- 3 x)}^{8 - k} = C_{8}^{k} {.1}^{k} . {(- 3)}^{8 - k} . x^{8 - k}$