Giải bài 6 trang 41

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 45°?

A. $M^{'} (1; 1) .$

B. $M^{'} (1; 0) .$

C. $M^{'} (\sqrt{2}; 0)$

D. $M^{'} (0; \sqrt{2})$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phép quay tâm O, góc quay $α$ : $Q_{(O, α)} [M (x; y)] = M^{'} (x^{'}; y^{'}) .$

Khi đó, ${\begin{cases} x^{'} = x \cos α - y \sin α \\ y^{'} = x \sin α + y \cos α \end{cases}$

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{O M} = (1; 1)$ . Suy ra $O M = \sqrt{2}$

Vẽ đường tròn (C) tâm O, bán kính OM.

Ta có $Q_{(O, 45^{\circ})}$ biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho $O M^{'} = O M = \sqrt{2}$ và $(O M^{'}, O M) = 45^{\circ}$ hay $\hat{M O M^{'}} = 45^{\circ}$

Kẻ $M H ⊥ O x$ tại H.

$Δ$ OMH vuông tại H: $\cos \hat{M O H} = \frac{O H}{O M} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\hat{M O H} = 45^{\circ}$

Ta có $\hat{H O M^{'}} = \hat{H O M} + \hat{M O M^{'}} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$

Suy ra $M^{'} \in O y$ nên $x_{M^{'}} = 0.$

Mà $O M^{'} = \sqrt{2}$ (chứng minh trên) nên $y_{M^{'}} = \sqrt{2}$

Vậy tọa độ $M^{'} (0; \sqrt{2})$

Do đó ta chọn phương án D.