Giải bài 6 trang 45

Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO(M∈OP)(M∈OP)\left( {M \in OP} \right), IN//PO (N∈QO)(N∈QO)\left( {N \in QO} \right). Chứng minh:

Đề bài

Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO $(M \in O P)$ , IN//PO $(N \in Q O)$ . Chứng minh:

a) Tam giác IMN cân tại I.

b) OI là đường trung trực của MN.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OPQ có: $I P = I Q$ , IM//QO nên $M O = M P$

Tam giác OPQ có: $I P = I Q$ , $M O = M P$ nên IM là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra $I M = \frac{1}{2} Q O$

Tương tự ta có: $I N = \frac{1}{2} P O$ .

Mà $P O = Q O$ (do tam giác POQ cân tại O) nên $I M = I N$ , suy ra tam giác IMN cân tại I.

b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.

Tam giác OPQ có: $M O = M P$ , $N O = N Q$ nên MN là đường trung bình của tam giác OPQ, suy ra MN//PQ (1).

Tam giác OPQ cân tại O có OI là đường trung tuyến nên OI cũng là đường cao của tam giác OPQ.

Suy ra: $O I ⊥ P Q$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $M N ⊥ O I$ tại K hay $M N ⊥ I K$

Mà tam giác IMN cân tại I nên IK là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN.