Giải bài 6 trang 46

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $DA=2,DC=3,DD=2$.

Tính khoảng cách từ đỉnh $B^{\prime }$ đến mặt phẳng $\left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng $DA,DC,D{D}^{\prime }$ đôi một vuông góc.

Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thoả mãn $D\left(0;0;0\right),A\left(2;0;0\right),C\left(0;3;0\right),D^{\prime }\left(0;0;2\right)$.

Khi đó $B\left(2;3;0\right),B^{\prime }\left(2;3;2\right),A^{\prime }\left(2;0;2\right),C^{\prime }\left(0;3;2\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\left(0;-3;2\right),\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-2;0;2\right)$.

Khi đó, $\left[\overrightarrow{B{A}^{\prime }},\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\right]=\left(\left(-3\right).2-2.0;2.\left(-2\right)-0.2;0.0-\left(-3\right).\left(-2\right)\right)=\left(-6;-4;-6\right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ là:

$-6\left(x-2\right)-4\left(y-3\right)-6\left(z-0\right)=0\iff -6x-4y-6z+24=0\iff 3x+2y+3z-12=0$.

Khi đó khoảng cách từ điểm $B^{\prime }$ đến mặt phẳng $\left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ bằng:

$d\left(B^{\prime },\left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)=\frac{\left|3.2+2.3+3.2-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$.