Giải bài 6 trang 46

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $D A = 2, D C = 3, D D = 2$ .

Tính khoảng cách từ đỉnh $B^{'}$ đến mặt phẳng $(B A^{'} C^{'})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gắn vào hệ trục toạ độ và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Vì $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng $D A, D C, D D^{'}$ đôi một vuông góc.

Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ $O x y z$ thoả mãn $D (0; 0; 0), A (2; 0; 0), C (0; 3; 0), D^{'} (0; 0; 2)$ .

Khi đó $B (2; 3; 0), B^{'} (2; 3; 2), A^{'} (2; 0; 2), C^{'} (0; 3; 2)$ .

Ta có: $\vec{B A^{'}} = (0; - 3; 2), \vec{B C^{'}} = (- 2; 0; 2)$ .

Khi đó, $[\vec{B A^{'}}, \vec{B C^{'}}] = ((- 3) .2 - 2.0; 2. (- 2) - 0.2; 0.0 - (- 3) . (- 2)) = (- 6; - 4; - 6)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(B A^{'} C^{'})$ .

Phương trình mặt phẳng $(B A^{'} C^{'})$ là:

$- 6 (x - 2) - 4 (y - 3) - 6 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 6 x - 4 y - 6 z + 24 = 0 \Leftrightarrow 3 x + 2 y + 3 z - 12 = 0$ .

Khi đó khoảng cách từ điểm $B^{'}$ đến mặt phẳng $(B A^{'} C^{'})$ bằng:

$d (B^{'}, (B A^{'} C^{'})) = \frac{| 3.2 + 2.3 + 3.2 - 12 |}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \frac{3 \sqrt{22}}{11}$ .