Giải bài 6 trang 55

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại $S$ có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$;

b) Tính góc $\beta$ giữa hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SCD\right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $CD$.

$SAB$ là tam giác cân tại $S$ nên $SO\perp AB$, suy ra $SO\perp \left(ABCD\right)$.

Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có:

$S\left(0;0;6\right),A\left(2;0;0\right),B\left(-2;0;0\right),C\left(-2;4;0\right),D\left(2;4;0\right)$.

a) Ta có $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;4;0\right)$, suy ra

$\cos \left(SD,BC\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{SD},\overrightarrow{BC}\right)\right|=\frac{\left|2.0+4.4+\left(-6\right).0\right|}{\sqrt{2^2+4^2+{\left(-6\right)}^2}.\sqrt{0^2+4^2+0^2}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$

Vậy $\left(SD,BC\right)\approx 57,7^{\circ }$.

b) Ta có: $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right),\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-6\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{SA}\right]=\left(-24;0;-8\right)=-8\left(3;0;1\right)$.

Do đó $\left(SAD\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;0;1\right)$.

$\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right),\overrightarrow{CD}=\left(4;0;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{CD}\right]=\left(0;-24;-16\right)=-8\left(0;3;2\right)$.

Do đó $\left(SCD\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(0;3;2\right)$.

$\cos \left(\left(SAD\right),\left(SCD\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|3.0+0.3+1.2\right|}{\sqrt{3^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+3^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{130}}{130}$

Vậy $\left(\left(SAD\right),\left(SCD\right)\right)\approx 79,9^{\circ }$.