Giải bài 6 trang 59

Đề bài

Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P)

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho parabol $y^{2} = 2 p x$

Tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$

Khoảng cách ngắn nhất của $M F$ là $M F = \frac{p}{2}$ , xảy ra ra khi M là đỉnh của parabol.

Lời giải chi tiết

a) Gọi PTCT của parabol là $y^{2} = 2 p x$

Với $M (x; y)$ bất kì nằm trên parabol, ta có: $M F = x + \frac{p}{2} \geq \frac{p}{2}$ (do $x \geq 0$ )

Vì khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km nên $\frac{p}{2} = 112 \Leftrightarrow p = 224$

$\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của (P) là: $y^{2} = 448 x$

Gọi $M (x; y)$ là vị trí sao chổi A, nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Parabol (P) có tiêu điểm $F (112; 0)$ $\Rightarrow M (112; y)$

$M F = | y_{M} | = \sqrt{2.224.112} = 224$

Vậy khoảng cách là 224 km.