Giải bài 6 trang 60

Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao BE và CD (D∈AB,E∈AC)(D∈AB,E∈AC)\left( {D \in AB,E \in AC} \right). Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao BE và CD $(D \in A B, E \in A C)$ . Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thang cân để chứng minh: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A nên $A B = A C$ và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

Mà $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{A} = 180^{0}$ nên $\hat{A B C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2}$ (1)

Tam giác AEB và tam giác ADC có:

$\hat{A D C} = \hat{A E B} = 90^{0}, A B = A C, \hat{A} c h u n g$

Do đó, $Δ A E B = Δ A D C (c h - g n)$ . Suy ra $A D = A E$

Do đó, tam giác AED cân tại E. Suy ra: $\hat{A D E} = \hat{A E D}$

Mà $\hat{A D E} + \hat{A E D} + \hat{A} = 180^{0}$ nên $\hat{A D E} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A B C} = \hat{A D E}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE//BC

Do đó, tứ giác BDEC là hình thang

Lại có: $\hat{D B C} = \hat{E C B}$ (cmt) nên tứ giác BDEC là hình thang cân