Giải bài 6 trang 63

Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D') có tất cả các cạnh bằng (a) và cho biết (widehat {BAD} = widehat {BAA'} = widehat {DAA'} = {60^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {DA} .overrightarrow {DC} ); c) (overrightarrow {AA'} .overrightarrow {

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và cho biết $\hat{B A D} = \hat{B A A^{'}} = \hat{D A A^{'}} = 60^{\circ}$ . Tính các tích vô hướng sau:

a) $\vec{A B} . \vec{A D}$ ;

b) $\vec{D A} . \vec{D C}$ ;

c) $\vec{A A^{'}} . \vec{A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{A B} . \vec{A D} = | \vec{A B} | . | \vec{A D} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = A B . A D . \cos \hat{B A D} = a . a . \cos 60^{\circ} = \frac{a^{2}}{2}$ .

b) $\hat{A D C} = 180^{\circ} - \hat{B A D} = 120^{\circ}$

$\vec{D A} . \vec{D C} = | \vec{D A} | . | \vec{D C} | . \cos (\vec{D A}, \vec{D C}) = D A . D C . \cos \hat{A D C} = a . a . \cos 120^{\circ} = - \frac{a^{2}}{2}$ .

c) $\hat{A D C} = 180^{\circ} - \hat{B A D} = 120^{\circ}$

$\begin{array}{l} \vec{A A^{'}} . \vec{A C} = \vec{A A^{'}} . (\vec{A B} + \vec{A D}) = \vec{A A^{'}} . \vec{A B} + \vec{A A^{'}} . \vec{A D} \\ = | \vec{A A^{'}} | . | \vec{A B} | . \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{A B}) + | \vec{A A^{'}} | . | \vec{A D} | . \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{A D}) \\ = A A^{'} . A B . \cos \hat{B A A^{'}} + A A^{'} . A D . \cos \hat{D A A^{'}} = a . a . \cos 60^{\circ} + a . a . \cos 60^{\circ} = \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2} = a^{2} \end{array}$ .