Giải bài 6 trang 71

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có A(2;0;2),B(4;2;4),D(2;−2;2),C′(8;10;−10)A(2;0;2),B(4;2;4),D(2;−2;2),C′(8;10;−10)A\left( {2;0;2} \right),B\left( {4;2;4} \right),D\left( {2; - 2;2} \right),C'\left( {8;10; - 10} \right). Tìm toạ độ điểm A′A′A'.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A (2; 0; 2), B (4; 2; 4), D (2; - 2; 2), C^{'} (8; 10; - 10)$ . Tìm toạ độ điểm $A^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử $D (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Ta có

$\vec{A D} = (2 - 2; - 2 - 0; 2 - 2) = (0; - 2; 0)$ .

$\vec{B C} = (x_{C} - 4; y_{C} - 2; z_{C} - 4)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{C} - 4 = 0 \\ y_{C} - 2 = - 2 \\ z_{C} - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{C} = 4 \\ y_{C} = 0 \\ z_{C} = 4 \end{cases}$ . Vậy $C (4; 0; 4)$ .

Giả sử $A^{'} (x_{A^{'}}; y_{A^{'}}; z_{A^{'}})$ . Ta có

$\vec{A A^{'}} = (x_{A^{'}} - 2; y_{A^{'}}; z_{A^{'}} - 2)$ .

$\vec{C C^{'}} = (8 - 4; 10 - 0; - 10 - 4) = (4; 10; - 14)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} - 2 = 4 \\ y_{A^{'}} = 10 \\ z_{A^{'}} - 2 = - 14 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = 6 \\ y_{A^{'}} = 10 \\ z_{A^{'}} = - 12 \end{cases}$ . Vậy $A^{'} (6; 10; - 12)$ .