Giải bài 6 trang 81

Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng: $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{c^{2} + b^{2} - a^{2}}$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC không vuông nên $\tan A, \tan B, \tan C$ xác định

Áp dụng định lý sin và định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{2 R} : \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{a b c}{4 R . (b^{2} + c^{2} - a^{2})} \\ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{b}{2 R} : \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{a b c}{4 R . (c^{2} + a^{2} - b^{2})} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{\tan A}{\tan B} = \frac{a b c}{4 R . (b^{2} + c^{2} - a^{2})} : \frac{a b c}{4 R . (a^{2} + c^{2} - b^{2})} = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{c^{2} + b^{2} - a^{2}}$ (dpcm)