Giải bài 6 trang 85

Cho tam giác nhọn ABC ((widehat B > widehat C)), phân giác AM. Gọi O, O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng: a) OO1, OO2, O1O2 lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM; b) Tam giác OO1O2 cân.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC ( $\hat{B} > \hat{C}$ ), phân giác AM. Gọi O, O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng:

a) OO₁, OO₂, O₁O₂ lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM;

b) Tam giác OO₁O₂ cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào khoảng cách từ tâm đến các điểm đường tròn bằng nhau.

Chứng minh $\hat{O O_{1} O_{2}} = \hat{O O_{2} O_{1}}$ để suy ra tam giác OO₁O₂ cân.

Lời giải chi tiết

a) Do OA = OB và O₁A = O₁B nên OO₁ là đường trung trực của AB.

Tương tự OO₂, O₁O₂ lần lượt là các đường trung trực của AC, AM.

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO₂ và AC. Ta có $\hat{O O_{1} Q} = \hat{R A Q} = \frac{\hat{B A C}}{2} (= 180^{o} - \hat{R O_{1} Q})$ (1).

Mặt khác $\hat{O_{2} N P} = \hat{A N Q}$ nên $90^{o} - \hat{O_{2} N P} = 90^{o} - \hat{A N Q}$ .

Suy ra: $\hat{N O_{2} P} = \hat{Q A N} = \frac{\hat{B A C}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{O O_{1} O_{2}} = \hat{O O_{2} O_{1}}$ . Do đó, tam giác OO₁O₂ cân tại O.