Giải bài 6 trang 87

Đề bài

Người ta quan sát một nhóm người trưởng thành trong 5 năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc. Sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này tử vong trong 5 năm quan sát, tính xác suất người đó thường xuyên hút thuốc.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “Một người tử vong trong 5 năm quan sát” và $B$ là biến cố “Một người thường xuyên hút thuốc”.

Do ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc nên ta có $P\left(B\right)=0,3$ và $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$.

Gọi tỉ lệ tử vong trong số những người không thường xuyên hút thuốc là $a\left(0\le a\le 1\right)$.

Do ở thời điểm sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại nên $P\left(A|\overline{B}\right)=a$và $P\left(A|B\right)=3a$.

Theo công thức xác suất toàn phần, tỉ lệ một người tử vong trong 5 năm quan sát là:

$P\left(A\right)=P\left(B\right)P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)P\left(A|\overline{B}\right)=0,3.3a+0,7.a=1,6a$.

Theo công thức Bayes, xác suất một người thường xuyên hút thuốc, biết rằng người đó tử vong trong 5 năm quan sát là

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,3.3a}{1,6a}=0,5625$.