Giải bài 6 trang 9

Đề bài

Tìm đạo hàm của hàm số $F\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)$. Từ đó, tìm $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)}^{\prime }}{\sqrt{x^2+4}-x}=\frac{\frac{{\left(x^2+4\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+4}}-1}{\sqrt{x^2+4}-x}=\frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}-1}{\sqrt{x^2+4}-x}=\frac{\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}}{\sqrt{x^2+4}-x}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\left(x\in R\right)$

Do đó: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int \left[-F^{\prime }\left(x\right)\right]dx=-\int F^{\prime }\left(x\right)dx=-F\left(x\right)+C=-\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)+C$.