Giải bài 6 trang 9

Tìm đạo hàm của hàm số (Fleft( x right) = ln left( {sqrt {{x^2} + 4} - x} right)). Từ đó, tìm (int {frac{1}{{sqrt {{x^2} + 4} }}dx} ).

Đề bài

Tìm đạo hàm của hàm số $F (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 4} - x)$ . Từ đó, tìm $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ .

Lời giải chi tiết

Ta có:

$F^{'} (x) = \frac{{(\sqrt{x^{2} + 4} - x)}^{'}}{\sqrt{x^{2} + 4} - x} = \frac{\frac{{(x^{2} + 4)}^{'}}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} - 1}{\sqrt{x^{2} + 4} - x} = \frac{\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} - 1}{\sqrt{x^{2} + 4} - x} = \frac{\frac{x - \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}}{\sqrt{x^{2} + 4} - x} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} (x \in R)$

Do đó: $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x = \int [- F^{'} (x)] d x = - \int F^{'} (x) d x = - F (x) + C = - \ln (\sqrt{x^{2} + 4} - x) + C$ .