Giải bài 6 trang 9

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) f(x)=(m+1)x2+5x+2$f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên R$R$

b) f(x)=mx2−7x+4$f\left(x\right)=m{x}^2-7x+4$ là tam thức bậc hai âm với mọi x∈R$x\in R$

c) f(x)=3x2−4x+(3m−1)$f\left(x\right)=3x^2-4x+\left(3m-1\right)$là tam thức bậc hai dương với mọi x∈R$x\in R$

d) f(x)=(m2+1)x2−3mx+1$f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ là tam thức bậc hai âm với mọi x∈R$x\in R$

Lời giải chi tiết

a) f(x)$f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và khi m+1≠0⇔m≠−1$m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Mặt khác, để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R$R$ , tức là không cắt trục hoành (hay f(x)=0 vô nghiệm) khi và chỉ khi Δ<0$\Delta <0$

hay 52−4(m+1).2<0⇔−8m+17<0⇔m>178$5^2-4\left(m+1\right).2<0\iff -8m+17<0\iff m>\frac{17}{8}$

Vậy để f(x)=(m+1)x2+5x+2$f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên R$R$ thì m>178$m>\frac{17}{8}$

b) f(x)$f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và khi m≠0$m\ne 0$

Mặt khác, f(x)$f\left(x\right)$ âm với mọi x∈R$x\in R$ khi và chỉ khi a<0$a<0$ và Δ<0$\Delta <0$

hay {m<0(−7)2−4m.4<0⇔{m<0m>4916$\{\begin{array}{c}m<0\\ {\left(-7\right)}^2-4m.4<0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<0\\ m>\frac{49}{16}\end{array}$ (Vô lý)

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

c) f(x)$f\left(x\right)$ có a=3>0$a=3>0$, suy ra f(x)$f\left(x\right)$  dương với mọi x∈R$x\in R$ khi và chỉ khi Δ<0$\Delta <0$

hay (−4)2−4.3.(3m−1)<0⇔−36m+28<0⇔m>79${\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.3.}\left(3m-1\right)<0\iff -36m+28<0\iff m>\frac{7}{9}$

Vậy để f(x)=3x2−4x+(3m−1)$f\left(x\right)=3x^2-4x+\left(3m-1\right)$là tam thức bậc hai dương với mọi x∈R$x\in R$ thì m>79$m>\frac{7}{9}$

d) f(x)=(m2+1)x2−3mx+1$f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ có a=m2+1>0∀m∈R$a=m^2+1>0\forall m\in R$

mà để f(x)$f\left(x\right)$ âm với mọi x∈R$x\in R$ thì a<0$a<0$ và Δ<0$\Delta <0$

Vậy không tồn tại giá trị m để f(x)=(m2+1)x2−3mx+1$f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ là tam thức bậc hai âm với mọi x∈R$x\in R$