Giải bài 6 trang 95

Đề bài

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng $k$.

a) Cho AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABM\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }$ và $\frac{AM}{A^{\prime }{M}^{\prime }}=k$.

b) Cho AD, A'D' lần lượt là các đường phân giác của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $\frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=k$.

c) Cho AH, A'H' lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{H}^{\prime }$ và $\frac{AH}{A^{\prime }{H}^{\prime }}=k$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\Delta ABC\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo tỉ số đồng dạng $k$ nên $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k;\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$

Mà AM và A’M’ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác ABC và A’B’C’ nên M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

$\begin{array}{c}\Rightarrow BM=\frac{1}{2}BC;B^{\prime }{M}^{\prime }=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }\\ \Rightarrow \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}=k\end{array}$

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’ có:

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}$ và $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$

$\Rightarrow \Delta ABM\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }$ (c-g-c)

$\Rightarrow \frac{AM}{A^{\prime }{M}^{\prime }}=\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}=k$

b) Vì $\Delta ABC\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo tỉ số đồng dạng $k$ nên $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k;\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$

$\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$
Vì AD và A’D’ lần lượt là phân giác của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ nên ta có $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ và $\frac{D^{\prime }{B}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

$\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{D^{\prime }{B}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{DB}{D^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{DC}{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{DB+DC}{D^{\prime }{B}^{\prime }+D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$

Mà $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ (chứng minh ở câu a) nên $\frac{DB}{D^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$

Xét tam giác ABD và tam giác A’B’D’ có:

$\frac{BD}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ (c-g-c)

$\Rightarrow \frac{AD}{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k$

c) Ta có $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$ và $\widehat{AHB}=\widehat{A^{\prime }{H}^{\prime }{B}^{\prime }}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{H}^{\prime }$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AH}{A^{\prime }{H}^{\prime }}=k$