Giải bài 6 trang 97 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Lấy D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng DH đi qua trung điểm BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Lấy D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng DH đi qua trung điểm BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ hay $B D ⊥ A B, D C ⊥ A C$ .

+ Chứng minh $H C ⊥ A B, H B ⊥ A C$ . Từ đó chứng minh được BH//DC; HC//BD.

+ Chứng minh BDCH là hình bình hành nên DH đi qua trung điểm BC.

Lời giải chi tiết

Vì AD là đường kính của (O) nên $\hat{A B D}$ và $\hat{A C D}$ là các góc nội tiếp của (O) chắn nửa đường tròn. Do đó, $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ , hay $B D ⊥ A B, D C ⊥ A C$ . (1)

Mặt khác, vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $H B ⊥ A C, H C ⊥ A B$ . (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra BH//DC; HC//BD. Do đó, BDCH là hình bình hành. Vì vậy DH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.