Đề bài
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thoả mãn BM=13BC,CN=54CA. Tính:
a) −−→AB.−−→AC,−−→AM.−−→BN
b) MN
Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ để tính −−→AB.−−→AC
Bước 2: Biến đổi −−→AM,−−→BN thành các vectơ chung gốc (gốc C) rồi tính −−→AM.−−→BN
Bước 3: Sử dụng các quy tắc và định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính MN2=(−−−→MN)2=(−−→MB+−−→BC+−−→CN)2 rồi tính độ dài MN
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
* −−→AB.−−→AC=AB.AC.cosˆBAC=a.a.cos600=a22
* −−→AM.−−→BN=(−−→CM−−−→CA)(−−→CN−−−→CB)=−−→CM.−−→CN−−−→CM.−−→CB−−−→CA.−−→CN+−−→CA.−−→CB
Ta có: + −−→CM.−−→CN=CM.CN.cosˆMCN=2a3.5a4.cos600=5a212
+ −−→CM.−−→CB=23−−→CB.−−→CB=23BC2=2a23
+ −−→CA.−−→CN=−−→CA.54−−→CA=54AC2=5a24
+ −−→CA.−−→CB=CA.CB.cosˆACB=a.a.cos600=a22
⇒−−→AM.−−→BN=−−→CM.−−→CN−−−→CM.−−→CB−−−→CA.−−→CN+−−→CA.−−→CB=5a212−2a23−5a24+a22=−a2
Vậy −−→AB.−−→AC=a22, −−→AM.−−→BN=−a2
b) Ta có: MN2=(−−−→MN)2=(−−→MB+−−→BC+−−→CN)2=(−13−−→BC+−−→BC+54−−→CA)2
=(23−−→BC+54−−→CA)2=49BC2+2516AC2+53−−→BC.−−→CA
=289144a2−53−−→CB.−−→CA=289144a2−53.CB.CA.cosˆBCA =289144a2−56a2=169a2144
⇒MN2=169a2144⇒MN=13a12
