Giải bài 62 trang 30

Cho hàm số (fleft( x right) = {2^x}). Tìm nguyên hàm (Fleft( x right)) của hàm số (fleft( x right)) trên (mathbb{R}) sao cho (Fleft( 0 right) = {log _2}left( {2e} right)).

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = 2^{x}$ . Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x)$ trên $R$ sao cho $F (0) = \log_{2} (2 e)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức: $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ .

Lời giải chi tiết

$F (x) = \int f (x) d x = \int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

Vì $F (0) = \log_{2} (2 e)$ nên $\frac{2^{0}}{\ln 2} + C = \log_{2} (2 e)$ hay $\frac{1}{\ln 2} + C = 1 + \frac{1}{\ln 2}$ . Do đó $C = 1$ .

Vậy $F (x) = \frac{2^{x}}{\ln 2} + 1$ .