Giải bài 63 trang 26

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{x - 1}}{{2{rm{x}} + 3}}); b) (y = - 3 + frac{5}{{x - 4}}); c) (y = frac{{3{rm{x}} - 7}}{{{x^2}}}); d) (y = frac{{ - 2{{rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{rm{x}} + 1}}).

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{x - 1}{2 x + 3}$ ;

b) $y = - 3 + \frac{5}{x - 4}$ ;

c) $y = \frac{3 x - 7}{x^{2}}$ ;

d) $y = \frac{- 2 x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$ thì đường thẳng $y = y_{0}$ là đường tiệm cận ngang.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {- \frac{3}{2}}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - {\frac{3}{2}}^{-}} f (x) = lim_{x \to - {\frac{3}{2}}^{-}} \frac{x - 1}{2 x + 3} = + \infty; lim_{x \to - {\frac{3}{2}}^{+}} f (x) = lim_{x \to - {\frac{3}{2}}^{+}} \frac{x - 1}{2 x + 3} = - \infty$

Vậy $x = - \frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{2 x + 3} = \frac{1}{2}; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x - 1}{2 x + 3} = \frac{1}{2}$

Vậy $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {4}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 4^{-}} f (x) = lim_{x \to 4^{-}} (- 3 + \frac{5}{x - 4}) = - \infty; lim_{x \to 4^{+}} f (x) = lim_{x \to 4^{+}} (- 3 + \frac{5}{x - 4}) = + \infty$

Vậy $x = 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} (- 3 + \frac{5}{x - 4}) = - 3; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} (- 3 + \frac{5}{x - 4}) = - 3$

Vậy $y = - 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {0}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{3 x - 7}{x^{2}} = - \infty; lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 x - 7}{x^{2}} = - \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 7}{x^{2}} = 0; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 7}{x^{2}} = 0$

Vậy $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

d) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {1}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 2 x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x + 1} = - \infty; lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 2 x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x + 1} = - \infty$

Vậy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x + 1} = - 2; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x^{2} + 1}{x^{2} - 2 x + 1} = - 2$

Vậy $y = - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.