Giải bài 64 trang 106

Đề bài

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC. N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt $x = \frac{A N}{A C}$ . Tìm x thỏa mãn $A M ⊥ B N$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tách và đưa các vectơ $\vec{A M}, \vec{B N}$ về vectơ chung gốc sao cho xuất hiện vectơ $\vec{A N}, \vec{A C}$

Bước 2: Sử dụng tính chất $A M ⊥ B N \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B N} = 0$ để lập PT ẩn x

Bước 3: Giải PT ở bước 2 để tìm x và kết luận

Lời giải chi tiết

Do $A M ⊥ B N$ nên $\vec{A M} . \vec{B N} = 0$

Ta có: $x = \frac{A N}{A C} \Rightarrow A N = x A C \Rightarrow \vec{A N} = x \vec{A C}$

$\vec{A M} = \vec{B M} - \vec{B A} = \frac{1}{2} \vec{B C} - \vec{B A}$ ; $\vec{B N} = \vec{A N} - \vec{A B} = x \vec{A C} - \vec{A B}$

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B N} = 0$ $\Leftrightarrow (\frac{1}{2} \vec{B C} - \vec{B A}) . (x \vec{A C} - \vec{A B}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} \vec{B C} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{B C} . \vec{A B} - x \vec{B A} . \vec{A C} + \vec{B A} . \vec{A B} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} . B C . \sqrt{2} B C . \cos 45^{0} + x . A B . \sqrt{2} A B . \cos 45^{0} - A B^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$

Vậy với $\frac{A N}{A C} = \frac{2}{3}$ thì $A M ⊥ B N$