Giải bài 64 trang 26

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = 5{rm{x}} - 2 + frac{1}{{x + 3}}); b) (y = - 7{rm{x}} + frac{{x - 1}}{{{x^2}}}); c) (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}}}}{{ - x + 2}}); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 9{rm{x}}}}{{x + 1}});

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = 5 x - 2 + \frac{1}{x + 3}$ ;

b) $y = - 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}}$ ;

c) $y = \frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2}$ ;

d) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1}$ ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = a x + b (a \neq 0)$ :

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ hoặc

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

Lời giải chi tiết

a) $y = 5 x - 2 + \frac{1}{x + 3} = \frac{5 x^{2} + 13 x - 5}{x + 3}$

Hàm số có tập xác định là $R ∖ {- 3}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = lim_{x \to - 3^{-}} \frac{5 x^{2} + 13 x - 5}{x + 3} = - \infty; lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = lim_{x \to - 3^{+}} \frac{5 x^{2} + 13 x - 5}{x + 3} = + \infty$

Vậy $x = - 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{5 x^{2} + 13 x - 5}{x (x + 3)} = 5$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - 5 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{5 x^{2} + 13 x - 5}{x + 3} - 5 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x - 5}{x + 3} = - 2$

Vậy đường thẳng $y = 5 x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y = - 7 x + \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{3} + x - 1}{x^{2}}$

Hàm số có tập xác định là $R ∖ {0}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- 7 x^{3} + x - 1}{x^{2}} = - \infty; lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 7 x^{3} + x - 1}{x^{2}} = - \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 7 x^{3} + x - 1}{x^{3}} = - 7$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) + 7 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{- 7 x^{3} + x - 1}{x^{2}} + 7 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{x^{2}} = 0$

Vậy đường thẳng $y = - 7 x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {2}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2} = + \infty; lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2} = - \infty$

Vậy $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2 x}{x (- x + 2)} = - 1$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) + x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{2} + 2 x}{- x + 2} + x] = lim_{x \to + \infty} \frac{4 x}{- x + 2} = - 4$

Vậy đường thẳng $y = - x - 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {- 1}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1} = + \infty; lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1} = - \infty$

Vậy $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 9 x}{x (x + 1)} = 2$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - 2 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{2 x^{2} + 9 x}{x + 1} - 2 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{7 x}{x + 1} = 7$

Vậy đường thẳng $y = 2 x + 7$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.