Giải bài 65 trang 106

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ (*)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Sử dụng tính chất ${\vec{a}}^{2} = a^{2}$ , tính chất trọng tâm tam giác và tách vectơ để biến đổi vế trái

Lời giải chi tiết

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Biến đổi vế trái (*) ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$ $= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} + 2 \vec{M G} (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ = VP (*) (ĐPCM)