Giải bài 65 trang 26

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}); b) (y = frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{rm{x}}^2} + 9}}); c) (y = frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}).

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$ ;

b) $y = \frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9}$ ;

c) $y = \frac{3 x^{2} + x}{1 - x}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$ thì đường thẳng $y = y_{0}$ là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = a x + b (a \neq 0)$ :

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ hoặc

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {- 2; 2}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = lim_{x \to - 2^{-}} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = - \infty; lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = lim_{x \to - 2^{+}} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = + \infty$

$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = - \infty; lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = + \infty$

Vậy $x = - 2$ và $x = 2$ là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = 0; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = 0$

Vậy $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là $R$ . Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9} = - \frac{1}{4}; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{- x^{2} - 1}{4 x^{2} + 9} = - \frac{1}{4}$

Vậy $y = - \frac{1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $R ∖ {1}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} = + \infty; lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} = - \infty$

Vậy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} = - \infty; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + x}{1 - x} = + \infty$

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + x}{x (1 - x)} = - 3$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) + 3 x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{3 x^{2} + x}{1 - x} + 3 x] = lim_{x \to + \infty} \frac{4 x}{1 - x} = - 4$

Vậy đường thẳng $y = - 3 x - 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.