Giải bài 66 trang 30

Đề bài

Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2^{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$ .

a) Tính diện tích $S$ của hình phẳng $H$ .

b) Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng $H$ quay quanh trục $O x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

• Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $O x$ là: $V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x$ .

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình phẳng được tính theo công thức:

$S = \int_{1}^{2} | 2^{x} | d x = \int_{1}^{2} 2^{x} d x = {\frac{2^{x}}{\ln 2} |}_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{1}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}$ .

b) Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

$V = π \int_{1}^{2} {(2^{x})}^{2} d x = π \int_{1}^{2} 2^{2 x} d x = π \int_{1}^{2} 4^{x} d x = {\frac{π 4^{x}}{\ln 4} |}_{1}^{2} = π (\frac{4^{2}}{\ln 4} - \frac{4^{1}}{\ln 4}) = \frac{12 π}{2 \ln 2} = \frac{6 π}{\ln 2}$ .