Giải bài 66 trang 84

Đề bài

Cho điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$, với $MA=a,MB=b$. Vẽ hai tam giác đều $AMC$ và $BMD$; gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $CM$, $F$ là giao điểm của $DM$ và $BC$ (Hình 58).

 

a)      Chứng minh $EF//AB$

b)     Tính $ME,MF$ theo $a,b$.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có $\widehat{DMB}=\widehat{CAM}=60{}^{\circ }$, $\widehat{DBM}=\widehat{CMA}=60{}^{\circ }$. Suy ra $MD//AC,DB//CM$.

Do $MD//AC$ nên $\frac{EC}{EM}=\frac{AC}{DM}=\frac{a}{b}$ (theo định lí Thales)

Tương tự, do $DB//CM$ nên $\frac{CF}{FB}=\frac{CM}{DB}=\frac{a}{b}$

Từ đó, ta có: $\frac{EC}{EM}=\frac{CF}{FB}=\frac{a}{b}$ nên $EF//MB$ hay $EF//AB$

b)     Từ $EF//AB$ suy ra tam giác $EMF$ là tam giác đều.

Từ đó, ta có: $\frac{EC=\frac{a}{a+b}}{CM}=\frac{EF}{MB}=\frac{EC+EF}{CM+MB}$

$=>EF=\frac{ab}{a+b}$

Vì tam giác $MEF$ là tam giác đều nên $ME=MF=EF=\frac{ab}{a+b}$.