Giải bài 67 trang 69

Cho bốn điểm A(0;1;1),B(−1;0;3),C(0;0;2)A(0;1;1),B(−1;0;3),C(0;0;2)A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right) và D(1;1;−2)D(1;1;−2)D\left( {1;1; - 2} \right). a) Tìm toạ độ của các vectơ −−→AB,−−→AC,[−−→AB,−−→AC]AB→,AC→,[AB→,AC→]\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {

Đề bài

Cho bốn điểm $A (0; 1; 1), B (- 1; 0; 3), C (0; 0; 2)$ và $D (1; 1; - 2)$ .

a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng $A B$ và $A C$ .

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(A B C)$ .

d) Chứng minh rằng bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(A B C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

‒ Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

$[\vec{u}, \vec{v}] = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$ .

‒ Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

‒ Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

‒ Để chứng minh rằng bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, ta chứng minh điểm $D$ không nằm trên mặt phẳng $(A B C)$ .

‒ Khoảng cách từ điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ :

$d (M_{0}; (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{A B} = (- 1 - 0; 0 - 1; 3 - 1) = (- 1; - 1; 2), \vec{A C} = (0 - 0; 0 - 1; 2 - 1) = (0; - 1; 1)$

$[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1.1 - 2. (- 1); 2.0 - (- 1) .1; (- 1) . (- 1) - 0. (- 1)) = (1; 1; 1)$ .

b) Đường thẳng $A B$ đi qua điểm $A (0; 1; 1)$ và nhận $\vec{A B} = (- 1; - 1; 2)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = - t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ .

Đường thẳng $A C$ đi qua điểm $A (0; 1; 1)$ và nhận $\vec{A C} = (0; - 1; 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

c) Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ đi qua điểm $A (0; 1; 1)$ và nhận $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$1 (x - 0) + 1 (y - 1) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0$ .

d) Ta có: $1 + 1 + (- 2) - 2 = - 2 \neq 0$ nên điểm $D$ không nằm trên mặt phẳng $(A B C)$ .

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(A B C)$ bằng:

$d (D; (A B C)) = \frac{| 1 + 1 + (- 2) - 2 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .