Giải bài 68 trang 70

Đề bài

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left(P\right)$ đi qua điểm $M\left(6;-7;10\right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)$;

b) $\left(P\right)$ đi qua điểm $N\left(-3;8;-4\right)$ và có một cặp vectơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u}=\left(3;-2;-1\right),\overrightarrow{v}=\left(1;4;-5\right)$;

c) $\left(P\right)$ đi qua điểm $I\left(1;-4;0\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(Q\right):5x+6y-7z-8=0$;

d) $\left(P\right)$ đi qua điểm $K\left(0;-3;4\right)$ và vuông góc với đường thẳng

$\Delta :\frac{x-4}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z-7}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$1\left(x-6\right)-2\left(y+7\right)+1\left(z-10\right)=0\iff x-2y+z-30=0$.

b) Ta có: $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(14;14;14\right)=14\left(1;1;1\right)$. Do đó $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$1\left(x+3\right)+1\left(y-8\right)+1\left(z+4\right)=0\iff x+y+z-1=0$.

c) Mặt phẳng $\left(Q\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;6;-7\right)$.

Vì $\left(P\right)\parallel \left(Q\right)$ nên $\overrightarrow{n}=\left(5;6;-7\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$5\left(x-1\right)+6\left(y+4\right)-7\left(z-0\right)=0\iff 5x+6y-7z+19=0$.

d) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;2\right)$.

Vì $\left(P\right)\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;2\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$-1\left(x-0\right)+3\left(y+3\right)+2\left(z-4\right)=0\iff -x+3y+2z+1=0$.