Giải bài 68 trang 70

Đề bài

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $M (6; - 7; 10)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; - 2; 1)$ ;

b) $(P)$ đi qua điểm $N (- 3; 8; - 4)$ và có một cặp vectơ chỉ phương là

$\vec{u} = (3; - 2; - 1), \vec{v} = (1; 4; - 5)$ ;

c) $(P)$ đi qua điểm $I (1; - 4; 0)$ và song song với mặt phẳng $(Q) : 5 x + 6 y - 7 z - 8 = 0$ ;

d) $(P)$ đi qua điểm $K (0; - 3; 4)$ và vuông góc với đường thẳng

$Δ : \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 7}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ :

Bước 1: Tìm $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$1 (x - 6) - 2 (y + 7) + 1 (z - 10) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + z - 30 = 0$ .

b) Ta có: $[\vec{u}, \vec{v}] = (14; 14; 14) = 14 (1; 1; 1)$ . Do đó $\vec{n} = (1; 1; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$1 (x + 3) + 1 (y - 8) + 1 (z + 4) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ .

c) Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 6; - 7)$ .

Vì $(P) ∥ (Q)$ nên $\vec{n} = (5; 6; - 7)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$5 (x - 1) + 6 (y + 4) - 7 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 6 y - 7 z + 19 = 0$ .

d) Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 3; 2)$ .

Vì $(P) ⊥ Δ$ nên $\vec{u} = (- 1; 3; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 1 (x - 0) + 3 (y + 3) + 2 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - x + 3 y + 2 z + 1 = 0$ .