Giải bài 69 trang 70

Đề bài

Lập phương trình của mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I (- 2; 3; 8)$ bán kính $R = 100$ ;

b) $(S)$ có tâm $I (3; - 4; 0)$ và đi qua điểm $M (2; - 3; 1)$ ;

c) $(S)$ có đường kính là $A B$ với $A (- 1; 0; 4)$ và $B (1; 0; 2)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để viết phương trình mặt cầu, ta tìm tâm và bán kính mặt cầu.

‒ Phương trình của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I (- 2; 3; 8)$ bán kính $R = 100$ là:

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 8)}^{2} = 100^{2}$ hay ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 8)}^{2} = 10000$ .

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = I M = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(- 3 - (- 4))}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{3}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + z^{2} = {(\sqrt{3})}^{2}$ hay ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + z^{2} = 3$ .

c) Mặt cầu đường kính $A B$ có tâm $I (0; 0; 3)$ là trung điểm của $A B$ .

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = I A = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}} = \sqrt{2}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

$x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$ hay $x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 2$ .