Giải bài 69 trang 85

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A, A B = 10$ cm, $B C = 12$ cm. Gọi $I$ là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $A B C$ . Tính độ dài $A I$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ gọi là đồng dạng với tam giác $A B C$ nếu:

$\hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$ ; $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ .

Kí hiệu là $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ .

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{C^{'} A^{'}}{C A} = k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $A I$ và $B C$ . Do tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên đường phân giác $A I$ cũng là đường cao, đường trung tuyến. Do đó $B H = \frac{B C}{2} = 6$ cm. Tam giác $A H B$ vuông tại $H$ nên $A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$ , suy ra $A H = 8$ cm. Ta có $\frac{A I}{I H} = \frac{A B}{B H}$ suy ra $\frac{A I}{A I + I H} = \frac{A B}{A B + B H}$ hay $\frac{A I}{8} = \frac{10}{10 + 6} = \frac{5}{8}$ . Vậy $A I = 5$ cm.