Giải bài 7.11 trang 28

Cho hình chóp S.ABCS.ABCS.ABC có SA⊥(ABC)SA⊥(ABC)SA \bot \left( {ABC} \right), tam giác ABCABCABC nhọn

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác $A B C$ nhọn. Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $A B C$ và $S B C$ . Chứng minh rằng:

a) $B C ⊥ (S A H)$ và các đường thẳng $A H, B C, S K$ đồng quy;

b) $S B ⊥ (C H K)$ và $H K ⊥ (S B C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra $B C ⊥ S A, B C ⊥ A H$ nên $B C ⊥ (S A H)$ .

Gọi $M$ là giao điểm của $A H$ và $B C$

Chứng minh $B C ⊥ A H, B C ⊥ S M$ suy ra $S, K, M$ thẳng hàng

Do đó, $S K, A H, B C$ đồng quy tại $M$ .

b) Chỉ ra $C H ⊥ S B$ , $S B ⊥ C K$ rồi suy ra $S B ⊥ (C H K)$ .

Từ đó ta có $S B ⊥ H K$ , tương tự, ta chứng minh được $S C ⊥ (B H K)$ , suy ra $S C ⊥ H K$ . Do đó $H K ⊥ (S B C)$ .

Lời giải chi tiết

a) Chỉ ra $B C ⊥ S A, B C ⊥ A H$ nên $B C ⊥ (S A H)$ .

Gọi $M$ là giao điểm của $A H$ và $B C$ $C H ⊥ A B$

Ta có: $B C ⊥ (S A M)$ , suy ra $B C ⊥ S M$ , mà $K$ là trực tâm của tam giác $S B C$ nên $S M$ đi qua $K$ .

Do đó, $S K, A H, B C$ đồng quy tại $M$ .

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên $S A ⊥ C H$ , mà , suy ra $C H ⊥ (S A B)$ .

Do đó $C H ⊥ S B$ , lại có $S B ⊥ C K$ nên $S B ⊥ (C H K)$ .

Từ đó ta có $S B ⊥ H K$ , tương tự, ta chứng minh được $S C ⊥ (B H K)$ , suy ra $S C ⊥ H K$ . Do đó $H K ⊥ (S B C)$ .