Giải bài 7.11 trang 38

Đề bài

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d : y - 1 = 0$ và $k : x - y + 4 = 0$

b) $a : {\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \end{cases}$ và $b : 3 x + y + 1 = 0$

c) $m : {\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - \sqrt{3} t \end{cases}$ và $n : {\begin{cases} x = 4 - t^{'} \\ y = \sqrt{3} t^{'} \end{cases}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

$(a; b)$ và $(c; d)$ cùng là vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ . Góc giữa hai đường thẳng này được tính thông qua công thức: $c o s φ = \frac{| a c + b d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $(0; 1)$ và $(1; - 1)$ .

$\cos φ = \frac{| 1.0 + 1. (- 1) |}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow φ = 45^{\circ}$ .

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là $(1; 2)$ và $(1; - 3)$ .

$\cos φ = \frac{| 1.1 + 2. (- 3) |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow φ = 45^{\circ}$ .

c) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là $(1; \sqrt{3})$ và $(1; - \sqrt{3})$ .

$\cos φ = \frac{| 1.1 + \sqrt{3} . (- \sqrt{3}) |}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow φ = 60^{\circ}$ .