Giải bài 7.13 trang 30

Cho tứ diện ABCDABCDABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng aaa.

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$ . Tính côsin của góc giữa đường thẳng $A B$ và mặt phẳng $B C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp chung

Để xác định góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(α)$ ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm giao điểm $O = a \cap (α)$

- Dựng hình chiếu $A^{'}$ của một điểm $A \in a$ xuống $(α)$

- Góc $\hat{A O A^{'}} = φ$ chính là góc giữa đường thẳng $a$ và $(α)$ .

Gợi ý phương pháp giải

Kẻ $A H ⊥ (B C D)$ tại $H$ ,

Xác định hình chiếu của $A B$ trên $(B C D)$ là $B H$

Tính góc $(A B, B H) = \hat{A B H}$ rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Kẻ $A H ⊥ (B C D)$ tại $H$ , ta có $B H$ là hình chiếu vuông góc của $A B$ trên mặt phẳng $(B C D)$ nên góc giữa đường thẳng $A B$ và mặt phẳng $(B C D)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $B H$ , mà $(A B, B H) = \hat{A B H}$ .

Vì $A B = A C = A D$ nên $H B = H C = H D$ , hay $H$ là tâm của tam giác $B C D$ , suy ra $B H = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Từ đó ta tính được: $\cos \hat{A B H} = \frac{B H}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng $A B$ và mặt phẳng $(B C D)$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .