Giải bài 7.14 trang 30

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh bằng (a), (SA bot left( {ABCD} right)), (SA = asqrt 2 ).

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = a \sqrt{2}$ .

a) Tính góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ .

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A B)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh có $A C$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ .

Khi đó $(\hat{S C, (A B C D)}) = (\hat{S C, A C}) = \hat{S C A}$ .

Tính $\hat{S C A}$ .

b) Chứng minh $S B$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên mp $(S A B)$ .

Khi đó $(\hat{S C, (S A B)}) = (\hat{S C, S B}) = \hat{B S C}$ .

Tính $\hat{B S C}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow A C$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ .

Khi đó $(\hat{S C, (A B C D)}) = (\hat{S C, A C}) = \hat{S C A}$ .

Mặt khác tam giác $S A C$ vuông tại $A$ có $A C = a \sqrt{2}$ và $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = 1 \Rightarrow \hat{S C A} = 45^{\circ}$ .

Vậy đường thẳng $S C$ hợp với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc $45^{\circ}$ .

b) Ta có ${\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow S B$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên mp $(S A B)$ .

Khi đó $(\hat{S C, (S A B)}) = (\hat{S C, S B}) = \hat{B S C}$ .

Mặt khác tam giác $S B C$ vuông tại $B$ có $B C = a, S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Do đó $\tan \hat{B S C} = \frac{B C}{S B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy tang góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A B)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .