Giải bài 7.15 trang 30

Cho hình chóp S.ABCS.ABCS.ABC có SA⊥(ABC)SA⊥(ABC)SA \bot \left( {ABC} \right), đáy là tam giác ABCABCABC vuông cân tại BBB, biết AB=aAB=aAB = a, SA=a√6SA=a6SA = a\sqrt 6 .

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , đáy là tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ , biết $A B = a$ , $S A = a \sqrt{6}$ .

a) Tính tang góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(S A C)$ .

b) Tính sin góc giữa đường thẳng $A C$ và mặt phẳng $(S B C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Kẻ $B M ⊥ A C$ tại $M$ , $B M ⊥ (S A C)$ suy ra $S M$ là hình chiếu vuông góc của $S B$ trên mặt phẳng $(S A C)$

Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(S A C)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $S B$ và $S M$ ,

Ta tính góc $B S M$ .

b) Kẻ $A H ⊥ S B$ tại $H$ , chứng minh $A H ⊥ (S B C)$ .

Từ đó suy ra hình chiếu của $A C$ trên $(S B C)$ ,

Suy ra góc giữa đường thẳng $A C$ và $(S B C)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $A C$ và hình chiếu $H C$

Tính góc hai đường thẳng $A C$ và hình chiếu của nó

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M$ là trung điểm đoạn $A C$ thì $B M ⊥ A C \Rightarrow B M ⊥ (S A C) \Rightarrow S M$ là hình chiếu vuông góc của $S B$ lên mặt phẳng $(S A C)$ .

Khi đó $(\hat{S B, (S A C)}) = (\hat{S B, S M}) = \hat{B S M}$ .

Tam giác $S B M$ vuông tại $M$ có $B M = A M = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và $S M = \sqrt{S A^{2} + A M^{2}} = \frac{a \sqrt{26}}{2}$

Do đó $\tan \hat{B S M} = \frac{B M}{S M} = \frac{\sqrt{13}}{13}$ .

b) Trong mp $(S A B)$ , kẻ $A H ⊥ S B$ thì $A H ⊥ (S B C)$ (vì $A H ⊥ S B, A H ⊥ B C$ ).

Khi đó $H C$ là hình chiếu vuông góc của $A C$ lên mp $(S B C)$ .

Suy ra $(\hat{A C, (S B C)}) = (\hat{A C, H C}) = \hat{A C H}$ .

Mặt khác tam giác $A H C$ vuông tại $H$ có $A C = a \sqrt{2}$ và $A H = \frac{S A . A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{a \sqrt{42}}{7}$ .

Do đó $\sin \hat{A C H} = \frac{A H}{A C} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .