Giải bài 7.16 trang 31

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a và $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ trùng với trung điểm của $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Ta có: $A^{\prime }O$ là hình chiếu vuông góc của $A{A}^{\prime }$ trên mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime }\right)$, góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ bằng góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }O$.

Mà $\left(A{A}^{\prime },A^{\prime }O\right)=\widehat{A{A}^{\prime }O}$, ta lại có $A^{\prime }O=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Do đó $cos\widehat{A{A}^{\prime }O}=\frac{O{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$,

 

Suy ra $\widehat{A{A}^{\prime }O}={60}^{\circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ bằng ${60}^{\circ }$.