Giải bài 7.16 trang 38

Đề bài

Cho đường thẳng $d:x-2y+1=0$ và điểm $A\left(-2;2\right)$.

a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có: $-2-2.2+1=-5\ne 0$ nên điểm A không thuộc đường thẳng d.

b) Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d

$\Rightarrow \overrightarrow{v_{AH}}=\overrightarrow{n_d}=\left(1;-2\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AH}}=\left(2;1\right)$.

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua $A\left(-2;2\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n_{AH}}=\left(2;1\right)$:

$AH:2\left(x+2\right)+1\left(y-2\right)=0$

$\Rightarrow AH:2x+y+2=0$.

+ $H=AH\cap d$

$\Rightarrow H:\{\begin{array}{c}x-2y+1=0\\ 2x+y+2=0\end{array}\Rightarrow H\left(-1;0\right)$.

c) Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’.

Suy ra $A^{\prime }\left(2.\left(-1\right)+2;2.0-2\right)\Rightarrow A^{\prime }\left(0;-2\right)$.