Giải bài 7.16 trang 47

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử tâm đường tròn là điểm $I (a; b)$ .

Ta có: $I A = I B = I C \Leftrightarrow I A^{2} = I B^{2} = I C^{2}$ .

Vì $I A^{2} = I B^{2}$ , $I B^{2} = I C^{2}$ nên:

${\begin{cases} {(6 - a)}^{2} + {(- 2 - b)}^{2} = {(4 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} \\ {(4 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} = {(5 - a)}^{2} + {(- 5 - b)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases}$

Vậy $I (1; - 2)$ và $R = I A = \sqrt{{(1 - 6)}^{2} + {(- 2 + 2)}^{2}} = 5$ .

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):

$x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0$ $(a^{2} + b^{2} - c > 0)$ .

$A (6; - 2), B (4; 2), C (5; - 5)$ thuộc (C) nên ta có:

${\begin{array}{l} 36 + 4 + 12 a - 4 b + c = 0 \\ 16 + 4 + 8 a + 4 b + c = 0 \\ 25 + 25 + 10 a - 10 b + c = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} 12 a - 4 b + c = - 40 \\ 8 a + 4 b + c = - 20 \\ 10 a - 10 b + c = - 50 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} a = - 1 \\ b = 2 \\ c = - 20 \end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là:

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ hay ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ .