Giải bài 7.19 trang 34

Cho tứ diện đều ABCDABCDABCD có độ dài các cạnh bằng aaa.

Đề bài

Cho tứ diện đều $A B C D$ có độ dài các cạnh bằng $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $C D$ , kẻ $A H$ vuông góc với $B M$ tại $H$ .

a) Chứng minh rằng $A H ⊥ (B C D)$ .

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $(B C D)$ và mặt phẳng $(A C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $C D ⊥ (A B M) \Rightarrow A H ⊥ C D$

Kết hợp $A H ⊥ B M \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $(B C D)$ và mặt phẳng $(A C D)$ .

Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(B C D)$ và mặt phẳng $(A C D)$ là $C D$ .

Nhận xét $A M ⊥ C D, B M ⊥ C D$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ bằng $\hat{A M B}$ .

Tính $\hat{A M B}$

Lời giải chi tiết

a) Vì $M$ là trung điểm của $C D$ nên $C D ⊥ B M$ , $C D ⊥ A M$ , do đó $C D ⊥ (A B M)$ , suy ra $C D ⊥ A H$ , ta lại có $A H ⊥ B M$ nên $A H ⊥ (B C D)$ .

b) Vì $A M ⊥ C D, B M ⊥ C D$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $A M$ và $B M$ , mà $(A M, B M) = \hat{A M B}$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ bằng $\hat{A M B}$ .

Ta có: $H M = \frac{1}{3} B M = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ và $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , tam giác $A H M$ vuông tại $H$ nên $c o s \hat{A M B} = \frac{H M}{A M} = \frac{1}{3}$ .