Giải bài 7.21 trang 34

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCDABCD là hình thoi tâm OOO

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O$ , cạnh bằng $a$ , góc $B A D$ bằng $60^{\circ}$ . Kẻ $O H$ vuông góc với $S C$ tại $H$ . Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng:

a) $(S B D) ⊥ (S A C)$ ;

b) $(S B C) ⊥ (B D H)$ ;

c) $(S B C) ⊥ (S C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để chứng minh hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

Cách 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng , rồi tính trực tiếp góc đó bằng $90^{0}$ .

$(\hat{(α), (β)}) = 90^{0} \Rightarrow (α) ⊥ (β)$ .

Cách 2. Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

${\begin{cases} a \subset (α) \\ a ⊥ (β) \end{cases} \Rightarrow (α) ⊥ (β)$ .

+ Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

a) Ta có $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B D$ mà $B D ⊥ A C$ , do đó $B D ⊥ (S A C)$ .

Vì mặt phẳng $(S B D)$ chứa $B D$ nên $(S B D) ⊥ (S A C)$ .

b) Ta có $B D ⊥ (S A C)$ nên $B D ⊥ S C$ mà $S C ⊥ O H$ , do đó $S C ⊥ (B D H)$ .

Vì mặt phẳng $(S B C)$ chứa $S C$ nên $(S B C) ⊥ (B D H)$ .

c) Ta có: $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

Vì $Δ C H O$ và $Δ C A S$ đồng dạng nên $\frac{H O}{A S} = \frac{C O}{C S}$ , suy ra $H O = \frac{C O \cdot A S}{C S} = \frac{a}{2} = \frac{B D}{2}$ .

Do đó, tam giác $B D H$ vuông tại $H$ , suy ra $\hat{B H D} = 90^{\circ}$ .

Ta lại có $B H ⊥ S C, D H ⊥ S C$ nên $(S B C) ⊥ (S C D)$ .