Giải bài 7.22 trang 34

Cho hình chóp đều S.ABCDS.ABCDS.ABCD có tất cả các cạnh bằng aaa. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau

Đề bài

Cho hình chóp đều $S . A B C D$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng $(S A B)$ và mặt phẳng $(A B C D)$ ;

b) Mặt phẳng $(S A B)$ và mặt phẳng $(S B C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính góc giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ ta có thể thực hiện cách sau:

Tìm hai đường thẳng $a, b$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ .

Khi đó góc giữa hai đường thẳng $a, b$ chính là góc giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ .

${\begin{cases} a ⊥ (α) \\ b ⊥ (β) \end{cases} \Rightarrow \hat{((α), (β))} = \hat{(a, b)}$ .

Dựa vào tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tìm góc

Áp dụng định lí côsin trong tam giác

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ .

Khi đó $S O ⊥ (A B C D)$ nên $S O ⊥ A B$ ,

Kẻ $O H ⊥ A B$ tại $H$ thì $A B ⊥ (S O H)$ , suy ra $A B ⊥ S H$ .

Do đó, góc giữa hai mặt phằng $(S A B)$ và $(A B C D)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $S H$ vả $H O$ , mà $(S H, H O) = \hat{S H O}$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(A B C D)$ bằng $\hat{S H O}$ .

Ta tính được $O H = \frac{a}{2}, S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , suy ra $c o s \hat{S H O} = \frac{O H}{S H} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Gọi $K$ là trung điểm của $S B$ . Khi đó $A K ⊥ S B, C K ⊥ S B$ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S B C)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $A K$ và $C K$ .

Ta có $A K = C K = \frac{a \sqrt{3}}{2}, A C = a \sqrt{2}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

$c o s \hat{A K C} = \frac{A K^{2} + C K^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A K \cdot C K} = \frac{- 1}{3}$ , suy ra $c o s (A K, C K) = - c o s \hat{A K C} = \frac{1}{3}$ .

Vậy côsin góc giữa hai mặt phả̉ng $(S A B)$ và $(S B C)$ bằng $\frac{1}{3}$ .