Giải bài 7.24 trang 42

Đề bài

Cho điểm $A\left(4;2\right)$ và hai đường thẳng $d:3x+4y-20;d^{\prime }:2x+y=0$.

a) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

b) Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A.

Lời giải chi tiết

a)  $\Delta \perp d\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(3;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(4;-3\right)$.

Phương trình đưởng thẳng $\Delta$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(4;-3\right)$ và đi qua $A\left(4;2\right)$ là:

$4\left(x-4\right)-3\left(y-2\right)=0$

$\Rightarrow 4x-3y-10=0$.

b) Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A.

+ Tâm I thuộc đường thẳng d’ $\Rightarrow I\left(t;-2t\right)$.

+ Phương trình đưởng tròn tiếp xúc với d tại A

$\Rightarrow IA\perp d^{\prime }\Rightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{v_d}=0$

$\Rightarrow \left(t-4;-2t-2\right).\left(1;-2\right)=0$

$\Rightarrow t-4+4t+4=0\Rightarrow t=0$

$\Rightarrow I\left(0;0\right)$.

+ $IA=R=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

+ Phương trình đường tròn: $x^2+y^2=20$.